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Chapter:1 Real Numbers | नंगुबै अनजिमाफोर

खोन्दो -1
नंगुबै अनजिमाफोर

Real Numbers Class 10 Maths in Bodo
Real Numbers Class 10 Maths in Bodo

NCERT Class 10 Maths chapter 1

सोनाय बिदां 1.1

1. इउक्लिडनि राननाय बिमावफारिखौ HCF दिहुननो थाखाय बाहायः

(i) 135 आरो 225

(ii) 196 आरो 38220

(iii) 867 आरो 255

मावफुथाइ:

(i) 135 आरो 225

बेवहाय, 225 > 135

बेनिखायनो

225 = 135 x 1+ 90

135 = 90 x 1 + 45

90 = 45 x 2 + 0

 बेनिखायनो 125 आरो 125 नि दे: सा: साः = 45

(ii) 196 आरो 38220

बेवहाय, 196 < 38220

बेनिखायनो

38220 = 196 x 195 + 0

बेनिखायनो 196 आरो 38220 नि दे: सा: साः = 196

(ii) 867 आरो 255

बेवहाय, 867 > 255

बेनिखायनो

867 = 255 x 3 + 102

255 = 102 x 2 + 51

 102 = 51 x 2 + 0

 बेनिखायनो 867 आरो 255 नि देः साः साः = 51

 2. दिन्थि दि जायखि जाया दाजाबथाइ बेजरा रगअनजिमाया 6q+1 महरनि, नडाब्ला 6q + 2, नडाब्ला 6q+5 महरनि, जेराव q आ माबेबा रग अनजिमा।

मावफुथाइ:

हमबाय, a आ मोनसे दाजाबथाइ बेज’रा रग’ अनजिमा आरो b = 6 आव राननाय बिमावफारि बाहायना मोनो a=6q+r आरो 0 ≤ r < 6 | बिनिखायनो जाथावना आद्राफोरा जाबाय 0, 1, 2, 3, 4 आरो 5 । बेनिखायनो ‘a’ आ 6q एबा 6q+1 एबा 6q+2 एबा 6q+3 एबा 6q+ 4 आरो 6q + 5 जानो हागौ । जेराव ‘q’ आ रानगासै। नाथाय ‘a’ आ बेजरा। बेनिखायनो 6q, 6q+2 आरो 6q+4 खौ बे बिथिंआव हमथावा। मानोना मोनथामबो 2 जो रानजायो। बेनिखायनो जायखि जाया दाजाबथाइ बेजरा अनजिमाया 6q+1, नाब्ला 6q+2, नडाब्ला 6q+5 महरनि।

दिन्थिनाय जाबाय।

3. मोनसे 616 सोद्रोमानि आर्मि दोलो आ मोनसे पेरेद आव 32 सोद्रोमानि मोनसे आर्मि बेण्डनि उनाव हानजासुर नांगौ ( March)। मोननै हानजाया एखे अनजिमानि थोलारि (Columns) याव हानजा सुरनांगौ। थोलारिनि बयनिनुइ बांसिन अनजिमाया बेसेबांजेराव बिसोरो हानजा सुरनो हानजा सुरनो हायो ?

मावफुथाइ:

बेवहाय, 616 > 32

बेनिखायनो इउक्लिडनि राननाय उफ्रा बिखान्थि बाहायना मोनो –

616 = 32×19 +8

 32 = 8 x 4 + 0

बेनिखायनो 616 आरो 32 नि देः साः साः = 8

बेनिखायनो दिहुननो गोनां बांसिन अनजिमानि हानजा = 8

4. इउक्लिडनि राननाय उफ्रा खान्थिखौ बेखौ दिन्थिनो बाहाय दि जायखिजाया दाजाबथाइ रगअनजिमानि बर्गआ माबेबा रगअनजिमा m नि थाखाय 3m महरनि एबा 3m+1 महरनि।

[ इसारा: हमनानै लाबाय x आ जायखि जाया दाजाबथाइ रगअनजिमा अब्ला बेयो 3q, 3q+1 एबा 3q+2 महरनि। दानिया बेफोरनि मोनफ्रोमखौबो बर्ग खालाम आरो दिन्थि दि बेसोरखौ 3m एबा 3m +1 महर आव लिरफिननो हायो।]

मावफुथाइ:

हमबाय, ‘a’ आ मोनसे बेज’रा दाजाबथाइ रग’ अनजिमा आरो b = 3 जों राननायनि उफ्रा बिखान्थिखौ बाहायना मोनो a=3q+r आरो 0 ≤ r <3 । बिनिखायनो जाथावना आद्राफोरा जाबाय 0, 1 आरो 2 । बिनिखायनो ‘a’ नि मानआ 3q, एबा 3q + 1 एबा 3q+2 जाथावो, जेराव q आ रानगासै।

दानिया, (3q)2 = 9q2
=3.3q2
=3m, जेराव m=3q2

आरोबाव, (3q+1)2 = (3q)2+2.3q.1+12

                                 = 9q2+6q+1

                          = 3(3q2+2q)+1

                          = 3m + 1, जेराव m=3q2+2q

बेबादिनो, (3q+2)2 = (3q)2+2.3q.2+22

                                = 9q2+12q +4

                          =9q2+12q +3+1

                          = 3(3q2+4q+1)+1

                          =3m+1, जेराव m=3q2+4q+1

बेनिखायनो जायखि जाया दाजाबथाइ रग’ अनजिमानि बर्गआ रग’ अनजिमा m नि थाखाय 3m एबा 3m+1 जानो हागौ।

दिन्थिनाय जाबाय।

5. इउक्लिडनि राननाय उफ्रा खान्थिखौ बेखौ दिन्थिनो बाहाय दि जायखि जाया दाजाबथाइ रगअनजिमानि घनफानआ 9m, 9m+1 एबा 9m+8 महरनि।

मावफुथाइ:

 हमबाय, ‘a’ आ मोनसे बेज’रा दाजाबथाइ रग’ अनजिमा आरो b = 3 जों राननायनि उफ्रा बिखान्थिखौ बाहायना मोनो a=3q+r आरो 0 ≤ r < 3 । बिनिखायनो जाथावना आद्राफोरा जाबाय 0, 1 आरो 2। बिनिखायनो ‘a’ नि मानआ 3q, एबा 3q + 1 एबा 3q+2 जाथावो, जेराव q आ रानगासै।

दानिया, (3q)3=27q3

                       =9.3q3

                   =9m, जेराव m=3q3

आरोबाव, (3q+1)3= 27q3+27q2+9q+1

                          =9(3q3+3q2+q)+1

                           =9m+1, , जेराव m=3q3+3q2+q

आरोबाव, (3q+2)3= 27q3+54q2+36q+8

                          =9(3q3+6q2+4q)+ 8

                           =9m+8, जेराव m=3q3+6q2+4q

बेनिखायनो जायखि जाया दाजाबथाइ रग’ अनजिमानि घनआ 9m, 9m+1 एबा 9m+8 जानो हागौ।

दिन्थिनाय जाबाय।

सोनाय बिदां -1.2

1. मोनफ्रोमबो अनजिमाखौ बेनि रोदा सानजाबगिरिफोरनि मोनसे सानजाबगासै महरै फोरमाय:

(i) 140 (ii) 156  (iii) 3825 (iv) 5005 (v) 7429

मावफुथाइ:

(i)140=2x2x5x7=22x5x7

बेनिखायनो 140 नि रोदा सानजाबगिरिफोरा = 22x5x7

(ii)156=2x2x3x13=22x3×13

बेनिखायनो 156 नि रोदा सानजाबगिरिफोरा = 22x3×13

(iii) 3825=3x3x5x5x17=32x52x17

बेनिखायनो 3825 नि रोदा सानजाबगिरिफोरा = 32x52x17

 (iv) 5005=5x7x11x13

बेनिखायनो 5005 नि रोदा सानजाबगिरिफोरा = 5x7x11x13

(v) 7429=17x19x23

बेनिखायनो 7429 नि रोदा सानजाबगिरिफोरा = 17x19x23

2.गाहायनि रगअनजिमा जराफोरनि LCM आरो HCF खौ दिहुन आरो थार नायफोर दि LCM x HCF = मोननै अनजिमानि सानजाबगासै।

(i) 26 आरो 91 (ii) 510 आरो 92 (iii) 336 आरो 54

मावफुथाइ:

(i) 26 आरो 91

26 = 2×13

91 = 7×13

26 आरो 91 नि दुःसा:साः [LCM] = 2 x 7 x 13=182

26 आरो 91 नि देःसा:साः  [HCF]=13

नाइबिजिरनाय –

दु:सा:सा: x  दे:सा:साः = 182 x 13=2366 आरो 26 x 91=2366

दुःसा:सा: x  देःसा:साः = अनजिमा मोननैनि सानजाबथाइ।

(ii) 510 आरो 92

510 = 2x5x51

92 = 2x2x23

510 आरो 92 नि दुःसा:साः = 2x2x5x23x51=23460

 510 आरो 92 नि देःसा:साः = 2

नाइबिजिरनाय –

दुःसा:सा: x  देःसा:साः = 23460 x 2 = 46920

आरो 510 x 92=46920

द:सा:साः x देःसा:साः = अनजिमा मोननैनि सानजाबथाइ।

(iii) 336आरो 54 .

336 = 2x2x2x2x3x7

 54 = 2x3x3x3

336 आरो 54 नि दुःसा:सा: =24x33x7=3024

336 आरो 54 नि देःसा:सा: =2 x 3=6

 नाइबिजिरनाय .

दुःसाःसा: x दे:सा:साः = 3024 x 6=18144

आरो 336 x 54=18144

दुःसा:साः x दे:सा:साः = अनजिमा मोननैनि सानजाबथाइ।

3.रोदा सानजाबगिरि बिजिरनाय आदब बाहायनानै गाहायाव होनाय रग, अनजिमाफोरनि LCM आरो HCF खौ दिहुन।

(i) 12, 15 आरो 21  (ii) 17, 23 आरो 29  (iii) 8, 9 आरो 25

मावफुथाइ:

(i)12, 15 आरो 21

12 = 2 x 2 x 3

15 = 3 x 5

 21 = 3 × 7

12, 15 आरो 21 नि दु:सा:साः = 2 x 2 × 3 × 5 × 7 = 420

12, 15 आरो 21 नि देःसा:साः = 3

(ii) 17, 23 आरो 29

17 = 1×17

23 = 1×23

29 = 1×29

17, 23 आरो 29 नि दुःसा:साः = 1 x 17 x 23 x 29= 11339

17, 23 आरो 29 नि दे:सा:साः = 1

(iii) 8, 9 आरो 25

8 = 2x2x2

9 = 3×3

25 = 5×5

8, 9 आरो 25 नि दुःसा:साः = 23 x 32 x 5 x 5= 1800

 8, 9 आरो 25 नि देःसा:साः = 1

4.होनाय दंदि HCF (306, 657) = 9 | LCM (306, 657) दिहन।

मावफुथाइ:

होनाय दं (306,657) नि देःसा:साः[HCF] = 9

We know that,

दुःसाःसा: x देःसा:साः = अनजिमा मोननैनि सानजाबथाइ.

 ∴ LCM × HCF = 306 × 657

=> LCM × 9 = 306 × 657

∴ LCM = 22338.

5.जायखि जाया मिथिंगा अनजिमा n नि थाखाय 6n अनजिमाया 0

सानजिमाजों जोबनाय जानो हायो ना हाया नायग्रोम।

मावफुथाइ:

जिदु जायखि जाया मिथिंगा अनजिमा n नि थाखाय अनजिमा 6n नि सानजिमाया 0 आव जोबहैयो, अब्ला बि 5 जो रानजागोन । बिनिखायनो 6 नि रोदा सानज़ाबगिरियाव 5 थाफायो। बिबादि. जानो हाया, मानोना 6n =(2×3)n=2n x 3n | बिनिखायनो, 6n नि रोदा सानजाबगिरिफोरा 2 आरो 3 ल’।

. बिनिखायनो, 6n नि सानजिमाया 0 आव जोबहैनाय जेबो n मिथिंगा अनजिमा थाया।

6. 7 x 11 x 13 + 13 आरो 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 + 5 अनजिमाया मानो जथाइ अनजिमा बिजिरनानै हो।

मावफुथाइ:

[ NOTE जाय अनजिमाया 1 आरो गावजों ल’ रानजायो बेफोर अनजिमाखौ नो रोदा अनजिमा बुङो, आरो जायफोर अनजिमाया 1 आरो गावनि अनगायैबो आलदा अनजिमाजों रानजायो बेफोर अनजिमाखौ  नो जथाइ अनजिमा बुङो ]

(i) 7x11x13+13

 =7 × 11 × 13 + 13

= 13 × (7 × 11 + 1)

= 13 × (77 + 1)

= 13 × 78

= 13 × 13 × 3 × 2

∴7x11x13+13 खौ रोदा सानजाबगिरियाव फोरमायनो हायो [थारबुंथि 1.2]

∴ बि मोनसे जथाइ अनजिमा।

(ii) 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 + 5

=7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5

= 5 × (7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1)

 = 5 × (1008 + 1)

= 5 × 1009

∴7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 + 5  खौ रोदा सानजाबगिरियाव फोरमायनो हायो।

∴बि मोनसे जथाइ अनजिमा।

7.मोनसे गेलेग्रा फोथारनि सोरगिदिं मोनसे बेंखन महरनि लामा दङा सनियाया फोथारनि फाखोसे द्राइभ खालामनो 18 मिनिट सम लायो। हमनानै लाबाय, बिसोर सानैबो एखे थावनि बिन्दोनिफ्राय आरो समआव जुरियो, आरो एखे दिगआवनो थाडो। बेसेबां मिनिट समनि उनाव बिसोरो आरोबाव जुरि जेननाय थावनि बिन्दोआव लोगो मोनलायफिनगोन?

माव’थाइ:

18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 32

12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3

18 आरो 12 नि दुःसा:सा: = 22 x 32 =36

 ∴ सनिया आरो रबिया जागायनाय बिन्दोनिफ्राय 36 मिनिट उनाव बै बिन्दोआवनो लोगो मोनज्लायफिनगोन।

सोनाय बिदां 1.3

1. फोरमान खालाम दि √5 आ रानजोबथायि।
माव’थाइ:
हमना लानाय जाबायदि √5 आ रानजोबथा ।
बिखायनो, लोगो रोदा रग’ अनजिमा a आरो b (≠ 0 ) खौ एरैबादि मोनो
∴ √5 = a/b
=> √5 b = a
=> 5b2 = a2 —– (i) [ फारनैथिंबो बर्ग खालामना]
∴ 5 आ a2 खौ रानो। एबा 5 आ a खौ रानो।
∴ रग’ अनजिमा k नि थाखाय
a = 5k
(i) नंआव a = 5k खौ फज’ना
∴ 5b2 = 25k2
∴ b2 = 5k2
∴ 5 आ b2 खौ रानो। एबा 5 आ b खौ रानो।
a आरो b आ खमैबों 5 आगोसार सानजाबगिरि थायो।
फारसेथिं 1 नि अनगायै a आरो b नि जेबो आगोसार सानजाबगिरि थाया।
∴ √5 आ रानजोबथाइ अनजिमा जानो हाया।
∴ √5 आ रानजोबथायि। फोरमान जाबाय।

2. फोरमान खालाम दि 3 + 2√5 आ रानजोब्रथायि।
मावफुथाइ:
हमबाय, 3 + 2√5 आ रानजोबथाइ।
बिखायनो, a आरो b (≠ 0 ) लोगो रोदा रग’ अनजिमाखौ एरैबादि दिहुननो हायो
3 + 2√5 = a/b
2√5 = a/b − 3
√5 = a/2b − 3/2
जिहेतु, a आरो b आ रग’ अनजिमा।
∴ a/2b − 3/2 आ रानजोबथाइ |
एबा √5 आ रानजोबथाइ। नाथाय, √5 आ रानजोबथायै।
∴ 3 + 2√5 आ रानजोबथायै अनजिमा।
फोरमान जाबाय।

3. फोरमान खालाम दि गाहायाव होनायफोरा रानजोबथायि
(i) 1/(√2) (ii) 7√5 (iii) 6 + √2
माव’थाइ:
(i)
हमबाय,
1/(√2) आ रानजोबथाइ अनजिमा।
∴ a आरो b (≠ 0 ) लोगो रोदा रग’ अनजिमाखौ एरैबादि दिहुननो हायो
1/(√2) = a/b
√2 = b/a
जिहेतु, a आरो b आ रग’ अनजिमा, b/a आ रानजोबथाइ।
√2 आ रानजोबथाय अनजिमा। नाथाय, √2 आ रानजोबथायि अनजिमा।
∴ 1/(√2) आ रानजोबथायि अनजिमा।
फोरमान जाबाय।
(ii) 7√5
हमबाय, 7√5 आ रानजोबथाइ अनजिमा।
∴ a आरो b(≠0) लोगो रोदा रग’ अनजिमाखौ एरैबादि दिहुननो हायो
7√5 =a/b
√5 =a/7b
जिहेतु, a आरो b आ रग’ अनजिमा, a/7b आ रानजोबथाइ अनजिमा जागोन।
∴ √5 आ रानजोबथाय अनजिमा।
नाथाय, √5 आ रानजोबथायि अनजिमा।
7√5 आ रानजोबथायि अनजिमा।
फोरमान जाबाय।
(iii) 6 + √2
हमबाय, 6 + √2 आ रानजोबथाइ अनजिमा।
∴ a आरो b(≠0) लोगो रोदा रग’ अनजिमाखौ एरैबादि दिहुननो हायो
6 + √2 = a/b
√2 = a/b − 6
‘जिहेतु, a आरो b आ रग’ अनजिमा, a/b – 6 आ रानजोबथाइ अनजिमा।
√2 आ रानजोबथाय अनजिमा। नाथाय √2 आ रानजोबथायि अनजिमा |
∴ 6 + √2 आ रानजोबथायि अनजिमा।
फोरमान जाबाय।

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